Anton nasce il 25 maggio 1909 nel villaggio Suskovo; suo padre è un sacerdote greco-cattolico. Frequenta la scuola elementare parrocchiale, il ginnasio a Mukačevo e il seminario a Užgorod. Il 21 settembre 1932 viene ordinato sacerdote dal vescovo greco-cattolico Aleksandr Stojka nella città Michajlovcy (oggi Slovacchia) e destinato come parroco al villaggio di Malaja Kopanja.
Con l’avvento del potere sovietico inizia la persecuzione contro la Chiesa e contro il clero. Il 18 febbraio 1949 due stanze della casa parrocchiale vengono requisite, perché servono come sede dell’amministrazione del nuovo kolchoz Stirpe stalinista. Altre due stanze vengono requisite nel 1950 e adibite a sede del soviet di villaggio e della biblioteca pubblica. Padre Anton, la moglie e i cinque figli piccoli si ritrovano in mezzo a una strada. Trovano rifugio nell’izba del sacrestano Vasilij Galas.
Fin dall’inizio del 1949 padre Anton è oggetto di pressioni e ricatti da parte degli agenti della polizia segreta, per indurlo a passare alla Chiesa ortodossa. Il 1° marzo 1949, assieme ad altri 34 sacerdoti greco-cattolici, sottoscrive un documento di «riunificazione» alla Chiesa ortodossa russa del Patriarcato di Mosca. Così ottiene il permesso di poter celebrare tranquillamente sino alla fine del 1956. Ciononostante, durante tutto questo periodo padre Anton non riesce a trovare la pace dello spirito, e il 12 ottobre 1956 scrive una lettera al vescovo ortodosso in cui dichiara di voler ritornare in seno alla Chiesa greco-cattolica. Rende nota ai fedeli questa sua decisione e continua a celebrare nella chiesa, sostituendo al nome del patriarca di Mosca quello del papa di Roma.
Nel gennaio 1957, di notte, si presentano a casa sua gli agenti della sicurezza di Stato con il mandato di arresto. Dopo aver perquisito l’appartamento e confiscati tutti i testi religiosi, trasferiscono l’arrestato nella prigione di Užgorod. Il 10 aprile 1957 padre Anton viene condannato a 7 anni di lager e alla confisca dei beni. Dal testo della condanna del collegio giudiziale sappiamo che: «A. F. Bačkaj, celebrando la Liturgia nel villaggio Malaja Kopanja, il 4 dicembre 1956, dopo aver interrotto la sua attività nella chiesa ortodossa, senza il permesso degli organi competenti ha ripristinato l’unione, celebrando secondo il rito greco-cattolico. Inoltre l’imputato fino al giorno dell’arresto ha conservato nel suo appartamento varia letteratura antisovietica, come, per esempio “Il messaggero missionario”, “Il Calendario missionario”, “Il pastore d’anime”, ecc.».
Dopo l’arresto e la condanna di padre Anton, la moglie Elena deve mantenere ed educare da sola i cinque figli. Padre Anton è destinato al lager di Pot’ma, nella repubblica della Mordovia. Grazie alla sua laboriosità, viene liberato prima del tempo nel gennaio 1961 e gli è concesso di riunirsi ai suoi cari. Resta però sotto il costante controllo del KGB. Sulla stampa sovietica di quegli anni vi è una testimonianza, l’artico di un certo S. Bojko, un ateo, dal titolo A proposito dell’Unione: I morti non risorgono, pubblicato sul giornale «La Pravda transcarpatica» nel 1969. L’autore scrive: «Alcuni nel 1956 hanno cercato di ricucire l’unione, ispirati dalla rivolta dei fascisti in Ungheria del 1956. Per esempio, nel villaggio Malaja Kopanja il pastore d’anime Anton Bočkaj si è affrettato a dichiarare che si distaccava dall’ortodossia e ritornava all’unione, e ha incominciato a celebrare la Liturgia secondo il rito degli uniati».
Padre Anton riesce a trovare lavoro nel kolchoz locale, ma segretamente celebra la Liturgia, amministra il sacramento del battesimo e benedice i matrimoni. Svolge il suo apostolato clandestino non soltanto nel suo villaggio, ma anche in altri villaggi della diocesi di Mukačevo. Dopo la legalizzazione della chiesa greco-cattolica avvenuta nel novembre 1989, a padre Anton è offerta la possibilità di svolgere liberamente il proprio ministero. Il vescovo ordinario Ioann Semidij gli assegna la cura dei villaggi del distretto Vinogradov e in seguito (anni 1992-1993) del villaggio di Malaja Kopanja.
Padre Anton Bačkai viene riabilitato il 17 aprile 1991. Muore il 20 novembre 2000.