Parroco della chiesa dell’Assunzione a Mukačevo. Nacque il 28 aprile 1889 nella famiglia di un sacerdote greco-cattolico nel villaggio di Suskovo, regione di Slavjavsk, in Transcarpazia, Ucraina. Dal 1899 studiò al ginnasio di Užgorod, nel 1907 entrò al Seminario della stessa città. Il 22 dicembre 1912 venne ordinato sacerdote dal vescovo della diocesi greco-cattolica di Mukačevo Anton Papp nella cattedrale di Užgorod.
Dopo l’ordinazione fu nominato parroco del villaggio di Negrovo, provincia di Iršavsk. Dal 1920 al 1935 fu parroco nel villaggio di Golubinoe; nel 1933 il vescovo Aleksandr Stojka gli conferì il titolo di vicario episcopale onorario e lo nominò decano di Slavjansk. Dal 1935 al 1939 fu parroco del villaggio di Svaljava. Fra il 1939 e il 1949 ricoprì lo stesso incarico nella città di Mukačevo, che dal 1939 si trovò a far parte dell’Ungheria. Nel 1941 il vescovo Aleksandr Stojka lo nominò consigliere del Tribunale diocesano. Dopo l’arrivo a Mukačevo dell’esercito sovietico, il nuovo potere cercò di «studiare» la personalità del sacerdote greco-cattolico, senza esercitare su di lui particolari pressioni, tanto più che suo figlio, padre Viktor Duliškovič, era deputato al Primo congresso dei Comitati popolari della Transcarpazia. Quando poi, nel 1949, incominciò la campagna contro la Chiesa greco-cattolica, il 25 gennaio 1949 padre Evmen, con un gruppo di sacerdoti e laici, fu convocato nell’ufficio di tale Grigor’ev, presidente del Consiglio cittadino dei deputati dei lavoratori di Mukačevo. A questo stesso incontro fu invitato anche l’arcivescovo ortodosso di L’vov-Ternopol’ e Mukačevo-Užgorod, Makarij (Oksjuk), che giunse assieme a padre Ioann Kopolovič. Grigor’ev dichiarò ai presenti che il Comitato provinciale della Transcarpazia aveva preso positivamente in considerazione la richiesta degli ortodossi della comunità di Mukačevo che venisse data loro in uso una chiesa greco-cattolica e aveva deciso di soddisfare questa richiesta.
La decisione del Consiglio cittadino era stata presa il 25 gennaio 1949. In base al permesso ottenuto dal Consiglio dei ministri dell’URSS, la chiesa avrebbe dovuto essere consegnata alla comunità ortodossa quello stesso giorno. Dopo aver letto la disposizione del comitato esecutivo cittadino, padre Evmen Duliškovič protestò e si rifiutò di firmare la disposizione, e inoltre non diede il permesso di partecipare alla consegna della chiesa. Si schierarono dalla sua parte i sacerdoti coadiutori e i responsabili laici. Dopodiché, l’arcivescovo Makarij pronunciò un discorso, proponendo ai sacerdoti greco-cattolici di «tornare in seno alla Chiesa ortodossa». Padre Evmenij respinse categoricamente la proposta di riunirsi alla Chiesa ortodossa russa del patriarcato di Mosca, dicendo: «Voi avete la vostra dottrina, noi la nostra. E non c’è altro da dire». Anche il presidente del Comitato esecutivo cittadino chiese a ognuno dei sacerdoti presenti se non desiderassero riunirsi alla Chiesa ortodossa, ma tutti declinarono la proposta.
Poiché non si era sottomesso alle autorità e non si era dimostrato disposto a collaborare, padre Duliškovič fu arrestato seduta stante dai collaboratori del KGB della regione della Transcarpazia e inviato a Kiev senza processo, né istruttoria.
Sappiamo che padre Evmenij fu condannato dalla Seduta Speciale assieme a un gruppo di altri sacerdoti greco-cattolici. Oltre a lui, c’erano Polikarp Lozan, Nikolaj Rusinka e Aleksandr Chira. Per qualche tempo furono tutti detenuti nella prigione n. 1, la «Luk’janovka». La Seduta Speciale presso il ministero degli interni si riunì a Mosca il 18 maggio 1949 in assenza dell’imputato e dei testimoni, non fu possibile ricorrere in appello. La condanna fu pronunciata in base agli articoli 54-4 e 54-10, § 2 del Codice penale della Repubblica sovietica ucraina. Duliškovič fu condannato a 10 anni di reclusione con la limitazione dei diritti civili per 5 anni e alla confisca dei beni. Il principale capo d’accusa era: collaborazione con gli occupanti nazisti e propaganda antisovietica. Padre Evmen Duliškovič fu inviato sotto scorta al lager presso la città di Javas, Repubblica della Mordovia. Dai luoghi di reclusione, tornò a Mukačevo il 13 ottobre 1955. Il lavoro estenuante e le dure condizioni di vita si ripercossero sulla salute di padre Evmen, che non poté godere a lungo della libertà e morì il 22 agosto 1958 a 70 anni di età e dopo 46 anni di sacerdozio. La direzione del KGB della Repubblica sovietica ucraina per la regione della Transcarpazia, assieme alla procura della regione ha riabilitato padre Evmen Duliškovič il 26 aprile 1989.
La moglie del sacerdote, Margarita Sabov (1893-1970) condivise tutte le sue traversie: fu la prima ad aiutarlo nel non facile compito pastorale, ed educò sei figli. Sotto la sua guida nel 1941 a Mukačevo venne fondata l’Associazione Santa Veronica: con le quote associative dei membri, le chiese povere vennero aiutate ad acquistare oggetti di culto.